Bài toán: (Olympic 27/4 Bà Rịa-Vũng Tàu) Tìm tất cả hàm số f:R\rightarrow R sao cho: f(x-f(y))=f(x+f(y))+4xf(y) Lời giải:
Đặt a=f(y), thế thì f(x-a)=f(x+a)+4ax Cho x=0, ta thu được f(-a)=f(a) \Rightarrow f là hàm chẵn Cho a=0 thì f(x)=f(x) nên có ngay f=0 là một nghiệm của phương trình. Cho x=a, ta có:f(0)=f(2x)+4x^2\\\Leftrightarrow f(2x)=f(0)-4x^2 Và như thế, ta thu được kết quả: f(x)=t-x^2 , trong đó t=f(0). Kết luận, có hai hàm số thỏa mãn bài toán là: f(x)=0 và f(x)=t-x^2
No comments:
Post a Comment