Processing math: 100%

Translate

Friday, August 22, 2014

Bài toán: (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Bắc Giang, năm học 2014-2015)
    Giải hệ phương trình: \begin{cases}3x^2-8x+2(x-1)\sqrt{x^2-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^2+4y+5}\\x^2+2y^2=4x-8y-6\end{cases}Lời giải:
Hệ đã cho viết lại thành: \begin{cases}(x-1)^2-2(x-1)-5+2(x-1)\sqrt{(x-1)^2+1}=2(y+2)\sqrt{(y+2)^2+1}\\(x-1)^2+2(y+2)^22(x-1)+5\end{cases} Đặt: a=x-1, b=y+2 Khi đó, hệ đã cho trở thành: \begin{cases}3a^2-2a-5+2a\sqrt{a^2+1}=2b\sqrt{b^2+1}\\a^2+2b^2=2a+5\end{cases} Thay 2a+5=a^2+2b^2 vào phương trình trên, ta thu được: a^2-2b^2+2a\sqrt{a^2+1}=2b\sqrt{b^2+1} \Leftrightarrow (a+\sqrt{a^2+1})^2=(b+\sqrt{b^2+1})^2 Trường hợp 1:  a+\sqrt{a^2+1}=b+\sqrt{b^2+1}
 Xét hàm số  f(t)=t+\sqrt{t^2+1}, \forall t\in \mathbb{R}. Ta có: f'(t)=1+\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}\ge0, \forall t\in\mathbb{R} Do đó, f(t) đồng biến trên \mathbb{R}, và như vậy, ta có: a=b, thay vào phương trình thứ hai ta dễ dàng tính được a=b=-1 hoặc a=b=\dfrac{5}{3} từ đó ta thu được nghiệm là \left(x, y\right)=\left(0,-3\right), \left(\dfrac{8}{3},-\dfrac{1}{3}\right)
Trường hợp 2:   a+\sqrt{a^2+1}=-b-\sqrt{b^2+1} \Leftrightarrow a+b+\frac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}}=0 \Leftrightarrow (a+b)\left(1+\dfrac{a-b}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}}\right)=0 Do a\neq b nên dễ dàng thấy được: \dfrac{a-b}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}}\neq 0
Và như vậy, ta có a=-b thay vào hệ ta tính được (a, b)=\left(1, -\dfrac{5}{3}\right)\vee \left(-1;\dfrac{5}{3}\right) Từ đó suy ra (x, y)=\left(2,-\dfrac{11}{3}\right)\vee \left(0, \dfrac{-1}{3}\right) Thử lại, ta tính được nghiệm của bài toán là: (x; y)=(0, -3)\vee \left(\dfrac{8}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)

No comments: