Bài toán: Giải hệ phương trình sau: $$\begin{cases} 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=4\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=5\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\\xy+yz+zx=1\end{cases}$$ Lời giải:
Điều kiện: $x, y, z\neq 0$. Từ điều kiện $xy+yz+zx=1$, ta nghĩ đến việc chọn $A, B, C$ là ba góc của một tam giác sao cho: $$x=\tan \dfrac{A}{2}$$ $$y=\tan\dfrac{B}{2}$$ $$z=\tan\dfrac{C}{2}$$ Khi đó, ta có: $$\tan\dfrac{A}{2}+\dfrac{1}{\tan\dfrac{A}{2}}=\dfrac{\tan^2\dfrac{A}{2}+1}{\tan\dfrac{A}{2}}=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{A}{2}}}{\tan\dfrac{A}{2}}=\dfrac{2}{\sin A}$$ Theo đó, ta thu được: $$\dfrac{3}{\sin A}=\dfrac{4}{\sin B}=\dfrac{5}{\sin C}$$ Mặt khác, chú ý tới định lý hàm $\sin$, với $a, b,c$ tương ứng là cạnh đối diện của ba góc $A, B, C$, ta có: $$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$$ Như vậy, ta thu được: $$a=3, b=4, c=5$$ Tới đây, ta dễ dàng tính được nghiệm của hệ là $$\left(x; y; z\right)=\left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{2}; 1\right)$$