Bài toán  (PTNK 2003-2004) Giải hệ phương trình sau: $$\begin{cases}a+b=2 \\ax+by=3 \\ax^2+by^2=5 \\ax^3+by^3=9 \end{cases}$$ Lời giải:
Ta kí hiệu lần lượt các phương trình từ trên xuống là $(1), (2), (3)$ và $(4)$. Khi đó, từ phương trình $(1)$ và $(3)$, ta thu được: $$(a+b)(ax^2+by^2)=10\\\\\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+ab(x^2+y^2)=10$$ Từ phương trình $(2)$ suy ra: $$(ax+by)^2=9\\\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+2abxy=9$$ Ta thu được: $$ab(x-y)^2=1$$ Từ $(2)$ và $(4)$, ta có: $$(ax+by)(ax^3+by^3)=27\\\Leftrightarrow a^2x^4+b^2y^4+abxy(x^2+y^2)=27$$ Từ phương trình $(3)$, ta có: $$a^2x^4+b^2y^4+2abx^2y^2=25$$ Do đó: $$ab(x+y)(x-y)^2=3\Rightarrow x+y=3$$ Tới đây, ta thu được hệ: $$\begin{cases}xy=2\\x+y=3\\ab(x-y)^2=1\\a+b=2\end{cases}$$ Hệ này khá đơn giản, giải hệ này ta tìm được $$(x,y, a, b)=(2, 1,1 ,1)\vee (1,2,1,1)$$