Bài toán:  Cho $M$ là một điểm bất kì nằm trong tam giác $ABC$. Kí hiệu các khoảng cách từ $M$ đến ba đỉnh $A, B, C$ là $R_a,  R_b, R_c$ và các khoảng cách từ $M$ đến ba cạnh $BC, CA, AB$ là $d_a, d_b, d_c$. Chứng minh rằng: $$d_a+d_b+d_c\ge 2\left(\dfrac{d_b.d_c}{R_a}+\dfrac{d_c.d_a}{R_b}+\dfrac{d_a.d_b}{R_c}\right)$$ Lời giải:
Gọi $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ xuống $BC, CA, AB$. Ta có: $$B_1C_1=MA.\sin A=R_a.\sin A$$ $$C_1A_1=MB. \sin B=R_b.\sin B$$ $$A_1B_1=MC. \sin C=R_c.\sin C$$ Dựng $MA_2 \perp B_1C_1, MB_2 \perp C_1A_1, MC_2\perp A_1B_1$, thế thì ta có: $$MA_2=MB_1.\sin \angle MB_1A_2=MB_1.\sin\angle MAC_1=\dfrac{MB_1.MC_1}{MA}$$ $$MB_2=MC_1. \sin\angle MC_1B_2=MC_1. \sin\angle MBA_1=\dfrac{MC_1.MA_1}{MB}$$ $$MC_2=MA_1.\sin \angle MA_1C_2=MA_1.\sin\angle MCB_1=\dfrac{MA_1.MB_1}{MC}$$ Xét tam giác $A_1B_1C_1$ có khoảng cách từ $M$ đến $A_1, B_1, C_1$ là $d_a, d_b, d_c$. Khoảng cách từ $M$ đến $B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1$ lần lượt là $\dfrac{d_bd_c}{R_a}, \dfrac{d_cd_a}{R_b}, \dfrac{d_ad_b}{R_c}$

Áp dụng bất đẳng thức Erdos Modell, ta có: $$d_a+d_b+d_c\ge 2\left(\dfrac{d_b.d_c}{R_a}+\dfrac{d_c.d_a}{R_b}+\dfrac{d_a.d_b}{R_c}\right)$$  Bài toán được chứng minh hoàn toàn.