Bài toán (VMO 2012) Cho một nhóm gồm $5$ cô gái xếp từ trái sang phải, kí hiệu là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ và $12$ chàng trai. Có $17$ chiếc ghế sắp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho:

        $1.$ Mỗi ghế có đúng một người ngồi.
        $2.$ Giữa $G_1$ và $G_2$ có ít nhất $3$ chàng trai.
        $3.$ Giữa $G_4$ và $G_5$ có ít nhất $1$ chàng trai và không quá $4$ chàng trai.

  Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy.

Lời giải :
   Kí hiệu $x_i$ là vị trí ngồi của bạn gái thứ $i$, thế thì: $$\begin{cases}1\le x_1<x_2<x_3<x_4<x_5\le 17\\x_2-x_1>3, 1<x_4-x_3\le 5\end{cases}$$ Từ điều kiện $x_2-x_1>3\Rightarrow x_2-3>x_1$, khi đó, ta có: $$1\le x_1<x_2-3<x_3-3<x_4-3<x_5-3<14$$ Đặt $x_1=y_1$, $y_i=x_i-3,  i=\{2,3,4,5\}$ Ta được: $$\begin{cases}1\le y_1<y_2<y_3<y_4<y_5<14\\y_4-y_3=\{2, 3, 4, 5\}\end{cases}$$ Tới đây, ta có $4$ trường hợp:
  Trường hợp 1: $y_4-y_3=2$, khi đó: $$1\le y_1<y_2<y_3<y_5-2\le 12$$ Ở trường hợp này có $C_{12}^4$ cách xếp.

  Trường hợp 2: $y_4-y_3=3$, khi đó: $$1\le y_1<y_2<y_3<y_5-3\le 11$$ Trường hợp này có $C_{11}^4$ cách xếp.

 Trường hợp 3: $y_4-y_3=4$, khi đó: $$1\le y_1<y_2<_3<y_5-4\le 10$$ Trường hợp này có $C_{10}^4$ cách xếp.

 Trường hợp 4: $y_4-y_3=5$, khi đó: $$1\le y_1<y_2<y_3<y_5-5\le 9$$ Trường hợp này có $C_{9}^4$ cách xếp.

 Như vậy ta thu được $C_{9}^4+C_{10}^4+C_{11}^4+C_{12}^4=1161$ cách. Tới đây, ta chú ý rằng $12$ chàng trai có thể hoán vị cho nhau. Như vậy, kết quả bài toán là: $12!.1161$