Bài toán: (Chọn đội tuyển VMO trường chuyên Đại học Vinh 2010)
   Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục: $f:\mathbb{R^+}\rightarrow\mathbb{R^+}$ thỏa mãn: $$f(f(xy)-xy)+xf(y)+yf(x)=f(xy)+f(x).f(y), \forall x, y\in\mathbb{R^+}$$ Lời giải:
 Cho $y=1$, ta thu được: $$f(f(x)-x)+xf(1)+f(x)=f(x)+f(x).f(1)\\\Leftrightarrow  f(f(x)-x)=f(1)\left[f(x)-x\right]$$ Khi đó, phương trình ban đầu có thể viết lại thành: $$f(1)\left[f(f(xy)-x)\right]=f(xy)-xy+\left[f(x)-x\right]\left[ f(y)-y\right]$$ Đặt $g(x)=f(x)-x$, ta được: $$g(1).g(xy)=g(x).g(y)$$ Dễ thấy rằng $g(x)> 0$, Cho $x=e^u, y=e^v$, đặt $h(t)=g(e^t)$, ta suy ra: $$h(0).h(u+v)=h(u).h(v)$$ Đặt $k(x)=\ln h(x)$, suy ra: $$k(0)+k(u+v)=k(u)+k(v)$$ Tới đây, sử dụng cấu trúc nghiệm của phương trình hàm Cauchy, ta thu được $$k(x)=ax+b,\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow h(x)=e^{ax+b}\Rightarrow g(x)=g(e^{\ln x})=e^{a\ln x+b}=e^b.x^a$$ Tức là $f(x)=x+Cx^a$,  với $a\in\mathbb{R}$ và $C$ là một hằng số.