Bài toán: (JBMO 2003) Cho $ x, y, z$ là các số dương lớn hơn $-1$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1+x^2}{1+y+z^2}+\dfrac{1+y^2}{1+z+x^2}+\dfrac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge 2$$ Lời giải:
 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:$$y\le \dfrac{y^2+1}{2}\\\Leftrightarrow \dfrac{1+x^2}{1+y+z^2}\ge \dfrac{1+x^2}{1+\dfrac{y^2+1}{2}+z^2}$$ Tương tự, ta cũng có: $$\dfrac{1+y^2}{1+z+x^2}\ge \dfrac{1+y^2}{1+x^2+\dfrac{z^2+1}{2}}$$ $$\dfrac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge \dfrac{1+z^2}{y^2+1+\dfrac{x^2+1}{2}}$$ Suy ra: $$\sum \dfrac{x^2+1}{1+y+z^2}\ge \sum \dfrac{x^2+1}{z^2+1+\dfrac{y^2+1}{2}}$$ Đặt $a=x^2+1, b=y^2+1, c=z^2+1$. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $$\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}\ge 1$$ Đặt $A=b+2c, B=c+2a, C=a+2b$. Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$$\dfrac{C}{A}+\dfrac{A}{B}+\dfrac{B}{C}+4\left(\dfrac{B}{A}+\dfrac{C}{B}+\dfrac{A}{C}\right)\ge 15$$ Tới đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có đánh giá: $$\dfrac{C}{A}+\dfrac{A}{B}+\dfrac{B}{C}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{C}{A}.\dfrac{B}{C}.\dfrac{A}{B}}=3$$ $$\dfrac{B}{A}+\dfrac{C}{B}+\dfrac{A}{C}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{B}{A}.\dfrac{C}{B}.\dfrac{A}{C}}=3$$ Từ đó dễ dàng suy ra điều phải chứng minh