Phan Đình Trung: bài tập tập huấn IMO 2011

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Phân giác $\angle ABD$ cắt $(O)$ tại $N$ . Phân giác $\angle BDC$ cắt $(O)$ tại $M$ . $AC$ giao $BD$ tại $E$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEM$ cắt đường thẳng qua $E$ song song $BN$ tại $F$ . $FB$ cắt $CA,CN$ lần lượt tại $X,Y$ . $FC$ cắt $BA,BN$ lần lượt tại $Z,T$ . Chứng minh rằng $YZ\parallel XT$ .

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Đường tròn $(K)$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại $C$ và tiếp xúc $AB$ . $(K)$ cắt $AC$ tại $M$ khác $C$ . Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt $AB$ tại $T$ . $TM$ cắt $(K)$ tại $N$ . $(K)$ cắt $CB$ tại $P$ khác $C$ . $BM$ cắt $(K)$ tại $Q$ khác $M$ . Chứng minh rằng $NP,QC$ và $AB$ đồng quy.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ phân giác $BE,CF$ . Đường tròn qua $B,A$ tiếp xúc $AC$ cắt $BC$ tại $M$ khác $B$ . Đường tròn qua $C,A$ tiếp xúc $AB$ cắt $BC$ tại $N$ khác $C$ . $BE$ giao $AN$ tại $P$ , $CF$ giao $AM$ tại $Q$ . Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm $PE,FQ$ song song $BC$ .

Bài 4. Cho $AB$ là dây cung của $(O)$ . Đường tròn $(O_1)$ tiếp xúc trong $(O)$ tại $S$ và tiếp xúc $AB$ tại $P$ . Đường tròn $(O_2)$ tiếp xúc trong $(O)$ , tiếp xúc ngoài $(O_1)$ tại $T$ và tiếp xúc $AB$ tại $Q$ . $SQ$ cắt $(O)$ tại $C$ khác $S$ . Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SPC$ luôn thuộc đường thẳng cố định khi $(O_1),(O_2)$ di chuyển và $P$ luôn nằm giữa $A$ và $Q$ .

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ . $P$ là điểm bất kỳ $PA,PB,PC$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $A_1,B_1,C_1$ . Đường tròn $(AB_1C_1),(BC_1A_1),(CA_1B_1)$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_2,B_2,C_2$ . $Q$ là điểm bất kỳ. $QA,QB,QC$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $A_3,B_3,C_3$ . $A_2A_3,B_2B_3,C_2C_3$ lần lượt cắt $(O)$ tại $A_4,B_4,C_4$ . Chứng minh rằng $AA_4,BB_4,CC_4$ đồng quy.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Một đường thẳng qua $O$ cắt $CA,CB$ tại $D,E$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOB$ tại $P$ khác $O$ , $P$ nằm trong tam giác $ABC$ . Điểm $Q$ trên cạnh $AB$ thỏa mãn $\frac{AQ}{QB}=\frac{DP}{PE}$ . Chứng minh rằng $\angle APQ = 2\angle CAP$ .

Bài 7. Cho $KL,KN$ tiếp xúc $(O)$ . $M$ thuộc tia đối tia $NK$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KLM$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $L$ . $Q$ là hình chiếu của $N$ xuống $ML$ . Chứng minh rằng $\angle MPQ=2\angle KML$ .

Bài 8. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. $d$ là trung trực của $BD$ . $P$ là điểm thuộc $d$ . $Q,R$ là đối xứng của $P$ qua phân giác $\angle BAD,\angle BCD$ . Chứng minh rằng $AQ,CR$ và $d$ đồng quy.

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Đường tròn $(O_1)$ qua $A,B$ tiếp xúc $AC$ . Đường tròn $(O_2)$ qua $A,C$ tiếp xúc $AB$ . $(O_1)$ cắt $(O_2)$ tại $D$ khác $A$ . Đường thẳng $d$ qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ tại $E,F$ . Đường tròn qua $A,E$ tiếp xúc $AB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam

giác $ABF$ tại $P$ . Chứng minh rằng $PA\perp PD$ .

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ . Trung trực $BC$ cắt $AC$ tại $D$ . $E$ thuộc đoạn $BD$ . $AE$ giao $BC$ tại $F$ . Đường thẳng qua $F$ song song $BD$ cắt $AB$ tại $G$ . Đường tròn $(BEC)$ cắt $AB$ tại $H$ khác $B$ . $HE$ giao $BC$ tại $I$ . $GF$ giao $CE$ tại $K$ . Chứng minh rằng $IG=IK$ .

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ , $P$ bất kỳ. $D,E,F$ là trung điểm $BC,CA,AB$ . $PD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $(PBC)$ tại $I$ khác $P$ . $PE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $(PCA)$ tại $J$ khác $P$ . $PF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $(PAB)$ tại $K$ khác $P$ .

a) Chứng minh rằng các đường tròn $(PAI),(PBJ),(PCK)$ có điểm chung $Q$ khác $P$ .

b) Chứng minh rằng $PQ$ luôn đi qua điểm cố định.

Bài 12. Cho tam giác $ABC$ . $O,L$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và điểm Lemoine của tam giác $ABC$ . $OL$ cắt $CA,AB$ tại $B',C'$ . $O',L'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và điểm Lemoine của tam giác $AB'C'$ . Chứng minh rằng $OL,O'L'$ và $BC$ đồng quy khi và chỉ khi $\angle A=60^\circ$ .

Bài 13. Cho tứ giác $ABCD$ . Chứng minh rằng

$\frac{1}{\mathcal{P}_{A/(BCD)}}+\frac{1}{\mathcal{P}_{B/(CDA)}}+\frac{1}{\mathcal{P}_{C/(DAB)}}+\frac{1}{\mathcal{P}_{D/(ABC)}}=0.$

Trong đó $\mathcal{P}_{M/(XYZ)}$ là phương tích của điểm $M$ đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ .

Bài 14. Cho ngũ giác $ABCDE$ có $DC=DE$ và $\angle C+\angle E=180^\circ$ . $M$ là điểm thuộc $AB$ sao cho $\frac{MB}{MA}=\frac{BC}{EA}$ . $CM$ cắt $AD$ tại $S$ , $EM$ cắt $BC$ tại $T$ . Chứng minh rằng $C,E,S,T$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 15. Cho tam giác $ABC$ tâm đường tròn nội tiếp $I$ . Đường tròn $(K)$ qua $I,B$ tiếp xúc $AB$ cắt $AC$ tại $M,N$ . Chứng minh rằng $\angle IBM=\frac{1}{2}\angle MBN$ khi và chỉ chi $I,M,C,K$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 16. Cho tam giác $ABC$ đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$ . $M,N,P$ là trung điểm $EF,FD,DE$ . $AM,BN,CP$ đồng quy tại $L$ . $K$ là điểm đẳng giác của $L$ đối với tam giác $DEF$ . Chứng minh rằng $K$ là tâm vị tự ngoài của đường tròn Euler và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Bài 17. Cho $(O_1)$ và $(O_2)$ là hai đường tròn trực giao. $X$ thuộc $(O_1)$ và $Y$ thuộc $(O_2)$ sao cho $O_1Y$ và $O_2X$ cắt nhau trên trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$ . Chứng minh rằng $XY$ đi qua tâm vị tự trong hoặc ngoài của $(O_1)$ và $(O_2)$ .

Bài 18. Cho hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $(O)$ tại $T$ . Lấy $P,Q$ thuộc $(K)$ sao cho $PQ\parallel AD$ và $PQ=AD$ . $AP$ giao $DQ$ tại $N$ , $BP$ giao $CQ$ tại $H$ . Chứng minh rằng $T,O,N,H$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 19. Cho tam giác $ABC$ trọng tâm $G$ . Đường thẳng $d$ cắt $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ . Đường thẳng qua $D,E,F$ song song với $GA,GB,GC$ lần lượt cắt nhau tạo thành tam giác $MNP$ . Gọi $L$ là trọng tâm tam giác $MNP$ . Chứng minh rằng $d$ đi qua trung điểm $GL$ .

Bài 20. Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$ , tâm ngoại tiếp $O$ . $D$ là trung điểm của $AH$ . Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $CA,AB$ tại $E,F$ . Chứng minh rằng điểm đối xứng của $D$ qua $EF$ nằm trên $OI$ .

Bài 21. Cho tam giác $ABC$ đường tròn bàng tiếp góc $B$ là $(I_b)$ tiếp xúc $CB,CA$ tại $D,R$ . Đường tròn bàng tiếp góc $C$ là $(I_c)$ tiếp xúc $BC,BA$ tại $Q,G$ . $BR$ cắt $(I_b)$ lần thứ hai tại $T$ . $CQ$ cắt $(I_c)$ lần thứ hai tại $S$ . $SG$ giao $TD$ tại $U$ . Chứng minh rằng $AU\perp BC$ .

Bài 22. Cho tam giác $ABC$ đường tròn $(I_a)$ bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$ . BE giao $(I_a)$ lần thứ hai tại $H$ . $CF$ cắt $(I_a)$ lần thứ hai tại $G$ . $S$ là điểm thuộc $AD$ . $SH,SG$ cắt $(I_a)$ lần thứ hai tại $U,V$ . Chứng minh rằng $BC,UV,HG,EF$ đồng quy.

Bài 23. Cho tam giác $ABC$ . $P$ là điểm bất kỳ. $PA,PB,PC$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $E,F,D$ . Phân giác $\angle ADC$ cắt phân giác $\angle AFB$ tại $K$ . Phân giác $\angle BDC$ cắt phân giác $\angle BFA$ tại $I$ . Phân giác $\angle AEC$ cắt phân giác $\angle BFC$ tại $J$ . Chứng minh rằng $CJ,BI,AK$ đồng quy.

Bài 24. Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $AB,AC$ tại $Y,Z$ . Đường tròn $A$ -mixtilinear tiếp xúc $AB,AC$ tại $H,I$ . Đường tròn $B$ -mixtilinear tiếp xúc $BC$ tại $D$ , đường tròn $C$ -mixtilinear tiếp xúc $BC$ tại $G$ . $GY$ giao $DZ$ tại $X$ , $BI$ giao $CH$ tại $T$ , $CY$ giao $BZ$ tại $S$ .

a) Chứng minh rằng $AX \parallel ST.$

b) Chứng minh rằng $BSCT$ là hình bình hành.

Bài 25. Cho tam giác $ABC$ , đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,F,E$ . Đường tròn $A$ -mixtilinear tiếp xúc $AB,AC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $H,I,P$ . Chứng minh rằng $\frac{PH}{PI}=\frac{DF}{DE}$ .

Bài 26. Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn mixtilinear ứng với $B,C$ tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $E,F$ . Đường tròn mixtilinar ứng với $A$ tiếp xúc $AB$ tại $D$ . Chứng minh rằng phân giác $\angle DFE$ đi qua tam đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ với $AB>BC>CA$ . Đường tròn mixtilinear ứng với $A,B,C$ tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $D,E,F$ . Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$ . Chứng minh rằng $\angle BEY+\angle CFZ=\angle ADX$ .

Bài 28. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Đường tròn mixtilinear ứng với $B$ tiếp xúc $AB,BC$ và $(O)$ tại $D,E,F$ . Đường tròn mixtilinear ứng với $C$ tiếp xúc $CB,CA$ và $(O)$ tại $P,Q,R$ . Chứng minh rằng $\frac{PF}{RE}=\frac{QF}{RD}.$

Bài 29. Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn mixtilinear ứng với $B,C$ là $(O_b),(O_C)$ tiếp xúc $BC$ tại $D,E$ . Đường thẳng $DO_c$ và $EO_b$ cắt nhau tại $F$ . Chứng minh rằng $AF$ là phân giác $\angle BAC$ .

Bài 30. Cho tam giác $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $(O)$ và một điểm $P$ . $PA,PB,PC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $A_1,B_1,C_1$ . $A_2,B_2,C_2$ lần lượt là hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$ . $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ . $A_3,B_3,C_3$ là đối xứng của $H$ qua $A_2,B_2,C_2$ . Chứng minh rằng $A_1A_3,B_1B_3,C_1C_3$ đồng quy tại $T$ thuộc $(O)$ .

Phan Đình Trung

Translate

Thursday, July 10, 2014

bài tập tập huấn IMO 2011

No comments: