Bài toán:(IMO 1983) Cho $a, b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 

              

                                           $a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc$

Lời giải:

   Đặt  $x=b+c-a$

           $y=c+a-b$  , với $x, y, z$ là các số dương

           $z=a+b-c$

 Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

              

         $\Leftrightarrow 2(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+6xyz)\le 3(x+y)(y+z)(z+x)$

  Đặt $p=x+y+z$

          $q=xy+yz+zx$

          $r=xyz$

  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

                                              $2(pq+3r)\le 3(pq-r)$

                                       $\Leftrightarrow pq\ge 9r$

   

   Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo AM-GM nên ta có đpcm.