Bài toán: Cho hai số thực a và  $\alpha $ với $a>0$.Xét hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$ xác định bởi $$u_{1}=a,u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{u_{n}}, v_{n}=\frac{u_{n}}{n^{\alpha }},\forall n\geq 1.$$

  $1.$ Chứng minh rằng $\lim u_{n}=+\infty $ và với $\alpha =\dfrac{1}{2}$ thì dãy số $(v_{n})$ có giới hạn hữu hạn. TÌm giới hạn đó.

  $2.$ Tìm tất cả số thực $\alpha$ để dãy số $(v_{n})$ có giới hạn hữu hạn và khác $0.$

Lời giải:

   $1.$ Dễ thấy $(u_n)$ là dãy dương, từ đó thấy được $u_{n+1}>u_n$. Nếu $(u_n)$ bị chặn trên thì nó hội tụ, giả sử nó hội tụ về $L$. Chuyển qua giới hạn :

$$L=L+\dfrac{1}{L}$$

Điều này vô lí. Tức $(u_n)$ không bị chặn trên. Suy ra $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_n=+\infty$.

Xét :

$$u_{n+1}^2-u_n^2=\left ( u_n+\dfrac{1}{u_n} \right )^2-u_n^2=2+\dfrac{1}{u_n^2}\rightarrow 2$$

Theo định lý trung bình Cesaro thì :

$$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{u_n^2}{n}=2\Rightarrow \lim\dfrac{u_n}{n^{1/2}}=\sqrt{2}$$

  $2.$ Theo trên ta có :

$$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{u_n^2}{n}=2$$

Dãy $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn khác $0$ khi và chỉ khi dãy $(v_n^{1/\alpha})$ có giới hạn hữu hạn khác $0$.

Ta có :

$$v_n^{1/\alpha}=\dfrac{u_n^{1/{\alpha}}}{n}=\dfrac{u_n^2}{n}.\dfrac{u_n^{1/\alpha-2}}{n}$$

Nếu $\dfrac{1}{\alpha }-2> 0$ thì $v_n^{1/\alpha}\rightarrow +\infty \Rightarrow v_n\rightarrow +\infty$

Nếu $\dfrac{1}{\alpha }-2< 0$ thì $v_n^{1/\alpha}\rightarrow 0\Rightarrow v_n\rightarrow 0$

Vậy ta được $\dfrac{1}{\alpha }-2= 0$, suy ra $\alpha=\dfrac{1}{2}$ là giá trị duy nhất cần tìm.