Bài toán: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

                     $\dfrac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{a+b}\ge \dfrac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}$

Lời giải:
   Rõ ràng bất đẳng thức trên là thuần nhất nên ta chuẩn hóa cho $a+b+c=1$. Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

                                                $\dfrac{1+\sqrt{a}}{b+c}+\dfrac{1+\sqrt{b}}{c+a}+\dfrac{1+\sqrt{c}}{a+b}\ge \dfrac{9+3\sqrt{3}}{2}$

   Đặt  $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}, z=\sqrt{c}$. Khi đó, ta cần chứng minh:

                $\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{z^2+x^2}+\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{z^2+x^2}+\dfrac{z^2}{x^2+y^2}\ge\dfrac{9+3\sqrt{3}}{2}$
    
  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schawrz, ta có
                $\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{z^2+x^2}\ge \dfrac{(1+1+1)^2}{2(x^2+y^2+z^2+)}\dfrac{9}{2}$
  Mặt khác, ta lại có:
      $\dfrac{x}{1-x^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2$ ;   $\dfrac{y}{1-y^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}y^2$ ;  $\dfrac{z}{1-z^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}z^2$

    Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:

                                     $\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{z^2+x^2}+\dfrac{z^2}{x^2+y^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
    
Từ đó dễ dàng suy ra đpcm.