Processing math: 100%

Translate

Thursday, July 24, 2014

Bài toán: (Chọn đội tuyển HSG QG 12- Lâm Đồng NH 2013-2014) Giải hệ phương trình:

                                                     \begin{cases}8x^3+2y=\sqrt{y+5x+2}\\\\(3x+\sqrt{1+9x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1\end{cases}

Lời giải:
     ĐK: \begin{cases} 8x^3+2y\ge 0\\\\y+5x+2\ge 0\end{cases}

    Từ phương trình thứ hai của hệ:  (3x+\sqrt{1+9x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1
                                             \Leftrightarrow \dfrac{y+\sqrt{1+y^2}}{\sqrt{1+9x^2}-3x}=1 \Rightarrow y+\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+9x^2}-3x

    Tương tự, ta cũng có:  -y+\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+9x^2}+3x

    Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta thu được: \sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+9x^2}
                                                                              \Rightarrow y^2=9x^2
                                                                              

  \bullet Trường hợp 1: y=3x \Rightarrow (y+\sqrt{1+y^2})^2=1

                                              

    Nếu y+\sqrt{1+y^2}=1 thì y-1=\sqrt{1+y^2}, với y\ge 1 ta tìm được y=0 (loại)
 
    Nếu y+\sqrt{1+y^2}=-1 thì -y-1=\sqrt{1+y^2}, với y\le -1 ta tìm được y=0 (loại).

 \bullet Trường hợp 2: y=-3x \Rightarrow 8x^3-6x=\sqrt{2x+2}

                                              \Leftrightarrow 8x^3-6x-2=\sqrt{2x+2}-2

                                              \Leftrightarrow (2x-2)(2x+1)^2=\dfrac{2x-2}{\sqrt{2x+2}+2}

    Nếu (2x+1)^2=\dfrac{1}{\sqrt{2x+2}+2}

   Nhận thấy rằng, VT của phương trình trên đồng biến trên R
                             VP của phương trình trên nghịch biến trên [-1; +\infty)

   Mà, với x=-1 thì  nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.

   Vậy, ta phải có 2x-2=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=-3

   Kết luận, hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (1; -3)

No comments: