Bài toán: (Chọn đội tuyển HSG QG 12- Lâm Đồng NH 2013-2014) Giải hệ phương trình:

                                                     $\begin{cases}8x^3+2y=\sqrt{y+5x+2}\\\\(3x+\sqrt{1+9x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1\end{cases}$

Lời giải:
     ĐK: $\begin{cases} 8x^3+2y\ge 0\\\\y+5x+2\ge 0\end{cases}$

    Từ phương trình thứ hai của hệ:  $(3x+\sqrt{1+9x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1$
                                             $\Leftrightarrow \dfrac{y+\sqrt{1+y^2}}{\sqrt{1+9x^2}-3x}=1$ $\Rightarrow y+\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+9x^2}-3x$

    Tương tự, ta cũng có:  $-y+\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+9x^2}+3x$

    Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta thu được: $\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+9x^2}$
                                                                              $\Rightarrow y^2=9x^2$
                                                                              

  $\bullet$ Trường hợp 1: $y=3x$ $\Rightarrow (y+\sqrt{1+y^2})^2=1$

                                              

    Nếu $y+\sqrt{1+y^2}=1$ thì $y-1=\sqrt{1+y^2}$, với $y\ge 1$ ta tìm được $y=0$ (loại)
 
    Nếu $y+\sqrt{1+y^2}=-1$ thì $-y-1=\sqrt{1+y^2}$, với $y\le -1$ ta tìm được $y=0$ (loại).

 $\bullet$ Trường hợp 2: $y=-3x$ $\Rightarrow 8x^3-6x=\sqrt{2x+2}$

                                              $\Leftrightarrow 8x^3-6x-2=\sqrt{2x+2}-2$

                                              $\Leftrightarrow (2x-2)(2x+1)^2=\dfrac{2x-2}{\sqrt{2x+2}+2}$

    Nếu $(2x+1)^2=\dfrac{1}{\sqrt{2x+2}+2}$

   Nhận thấy rằng, VT của phương trình trên đồng biến trên $R$
                             VP của phương trình trên nghịch biến trên $[-1; +\infty)$

   Mà, với $x=-1$ thì  nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.

   Vậy, ta phải có $2x-2=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=-3$

   Kết luận, hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $(1; -3)$