Bài toán: Giải hệ phương trình: 
                               
                                  
Lời giải:
      Từ điều kiện $x+y+z=0$ $\Leftrightarrow z=-x-y$
      Suy ra:
                  $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2-y(x+y)+(x+y)^2}=\sqrt{(x+y)^2-x(x+y)^2+x^2}$

            $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{x^2+xy+y^2}$

            $\Leftrightarrow$ $\sqrt{x^2+xy+y^2}=0$

            $\Rightarrow x^2+xy+y^2=0$

       Mặt khác, ta luôn có:
                           
                                              $x^2+xy+y^2=(x+\dfrac{1}{2}y)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge 0$

      Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=0$ $\Rightarrow z=0$

      Vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(0, 0, 0)$