Bài toán: Cho $m, n$ là các số nguyên thỏa $m\ge n\ge 2$. Giả sử $x_1, x_2,...,x_n$ là các số nguyên dương sao cho $x_1+x_2+...+x_n=m$. Tìm GTNN của:

                                                                $S=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2$

Lời giải:

     Từ BDT Cauchy Schawrz, ta có:

                                                          $n(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)\ge (x_1+x_2+...+x_n)^2$

                                                     $\Leftrightarrow S\ge \dfrac{m^2}{n}$

      Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2=...=x_n=\dfrac{m}{n}$. Do đó, ta có nhận xét rằng $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại các biến $x_i$ đủ gần bằng nhau. Cụ thể là $x_{i+1}=x_i+1$

      Gọi $P$ là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của $S$. Dễ thấy là $P$ là hữu hạn do đó tồn tại $N$ là giá trị nhỏ nhất của $S$.

      Giả sử khẳng định trên là không đúng, chẳng hạn $x_1-x_2>1$. Khi đó, chọn $x=x_1-1$ và $y=x_2+1$, thế thì $x^2+y^2<x_1^2+x_2^2$, điều này vô lí.
     
      Bây giờ, giả sử $x_1\le x_2\le ...\le x_n$ và đặt $m=dn+k$, với $k<n, k\in N$

    Từ điều kiện $x_1\le x_2\le ...\le x_n$ là hơn kém nhau tối thiểu là $1$ nên ta có:

                                                                  $x_1=x_2=...=x_{n-k}=d$

                                                                  $x_{n-k+1}=...=x_n=d+1$

    Từ đó, ta có ngay $N=(n-k)d^2+k(d+1)^2$