Bài toán: Cho $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $3$ dạng $3k+2$. Chứng minh rằng:
                                                  
Lời giải: 
    Xét tập $A=\left \{2^3-1, 3^3-1,...,p^3-1 \right \}$. Ta sẽ chứng minh rằng $A$ là một hệ thặng dư thu gọn theo $mod p$.
    Thật vậy, dễ dàng nhận thấy rằng mỗi một phần tử của $A$ đều không chia hết cho $p$, tức là $(2^i-1, p)=1$, với $i=1, 2,...,p$
     Giả sử tồn tại $1\le i<j\le p-1$ sao cho: $i^3-1\equiv j^3-1 (mod p)$
                                                                                  $\Rightarrow i^3\equiv j^3 (mod p)$
                                                                                $\Rightarrow i^{3k}\equiv j^{3k} (mod p)$
    Mặt khác, theo định lý Fermat, ta có: 
                                                       $i^{3k+1}\equiv j^{3k+1} (mod p)$
                                                  \Rightarrow i\equiv j (mod p)$\Rightarrow i=j$ (mâu thuẫn)
    Cho nên, với $1\le i<j\le p-1$ thì $i^3-1\not\equiv j^3-1(mod p)$
    Kết hợp với $\varphi (p)=p-1=|A|$ (do $p$ nguyên tố)
    $\Rightarrow A$ là một hệ thặng dư thu gọn $mod$p$
    Xét $B=\left\{ 1, 2,..,p-1\right\}$ cũng là một hệ thu gọn theo $mod$ $p$, nên:
                                                      
 Mà $p$ là một số nguyên tố dạng $3k+2$ nên ta có ngay:
                                                        
Bài toán được chứng minh hoàn toàn.