Bài toán: Cho $x, y, z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

                                $\dfrac{xy+yz+zx}{\sqrt{x^2+y^2+xy}+\sqrt{y^2+z^2+yz}+\sqrt{z^2+x^2+zx}}\le \dfrac{x+y+z}{3\sqrt{3}}$

Lời giải:
  Ta chú ý tới các bất đẳng thức quen thuộc sau:

                                                       $\sqrt{x^2+y^2+xy}\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$

                                                       $xy+yz+zx\le \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$
   Do đó:

                             $\dfrac{xy+yz+zx}{\sqrt{x^2+y^2+xy}+\sqrt{y^2+z^2+yz}+\sqrt{z^2+x^2+zx}}\le \dfrac{\dfrac{(x+y+z)^2}{3}}{\sqrt{3}(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{3\sqrt{3}}$ 
  Bài toán được chứng minh.