Bài toán: (IMO 2006) Cho các số thực $x, y, z$. Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho BDT sau đây luôn được thỏa mãn:

                     $|xy(x^2-y^2)+yz(y^2-z^2)+zx(z^2-x^2)|\le k(x^2+y^2+z^2)^2$

 Lời giải:
       Ta chú ý rằng:

                       $xy(x^2-y^2)+yz(y^2-z^2)+zx(z^2-x^2)=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

       Khi đó, bài toán đã cho trở thành:

                                     $|(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)|\le k(x^2+y^2+z^2)^2$

      Lấy bình phương hai vế, ta thu được:

                                 $(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2(x+y+z)^2\le k^2(x^2+y^2+z^2)^4$

     Đây là một BDT thuần nhất, nên không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa cho $x+y+z=1$.

    Đặt  $q=xy+yz+zx, r=xyz$. Khi đó, ta có:

                             $(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2=q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2$

                             $x^2+y^2+z^2=1-2q$

    BDT đã cho trở thành:

                                           $q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2\le k^2(1-2q)^4$

     Xem vế trái của BDT trên là một tam thức bậc hai $P(x)$, thế thì:

                                         $P_{max}(x)=\dfrac{4}{27}(1-3q)^3\le k^2(1-2q)^4$

                                   $\Rightarrow \dfrac{27}{4}k^2\ge \dfrac{(1-3q)^3}{(1-2q)^4}$

    Ta chú ý tới BDT quen thuộc $xy+yz+zx\le\dfrac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow q\le \dfrac{1}{3}$

   Xét hàm số:  $f(q)=\dfrac{(1-3q)^3}{(1-2q)^4}$,  với $q\le \dfrac{1}{3}$

   Ta có: $f'(q)=\dfrac{(6q+1)(1-3q)^2}{(1-2q)^5}$.  Bây giờ, ta có:

                                          $f(q)\le f\left(-\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{2187}{2048}$

      Suy ra:                           $k^2\ge \dfrac{81}{512}\Rightarrow k\ge \dfrac{9\sqrt{2}}{32}$

   Kết luận:  $\min k=\dfrac{9\sqrt{2}}{32}$