Processing math: 100%

Translate

Wednesday, July 9, 2014

Bài toán: Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn: 

                                                                 
  Chứng minh rằng:  ca+bd+cd\le \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}      

Lời giải:
     Ta có:  c+d=3 \Leftrightarrow d=3-c. Khi đó, ta có:

                                      ca+bd+cd=ca+b(3-c)+c(3-c)
                                                                =-c^2+(a-b+3)c+3b

      Xét tam thức: f(c)=-c^2+(a-b+3)c+3b. Ta có:
                                          max f(c)=\dfrac{4.(-1).3b-(a-b+3)^2}{-4}=\dfrac{12b+(a-b+3)^2}{4}

      Bây giờ ta cần chỉ ra rằng: 
                                              \dfrac{12b+(a-b+3)^2}{4}\le \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4} 
                                    \Rightarrow 12b+(a-b+3)^2\le 9+6\sqrt{2}
                                    \Leftrightarrow 6(a+b)-2ab+a^2+b^2\le 6\sqrt{2}
                                    \Leftrightarrow 6(a+b)-2ab\le 6\sqrt{2}-1

      Chú ý rằng: 2ab=(a+b)^2-a^2-b^2=(a+b)^2-1
      Do đó:                     
                                   6(a+b)-(a+b)^2+2-6\sqrt{2}\le 0
       tức là:  
                                    a+b\le \sqrt{2} \vee  a+b\ge 6-\sqrt{2}
      Điều này luôn đúng vì theo Cauchy Schawrz thì a+b\le\sqrt{2(a^2+b^2)}.
      Bài toán được chứng minh.

No comments: