Chứng minh rằng: ca+bd+cd\le \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}
Lời giải:
Ta có: c+d=3 \Leftrightarrow d=3-c. Khi đó, ta có:
ca+bd+cd=ca+b(3-c)+c(3-c)
=-c^2+(a-b+3)c+3b
Xét tam thức: f(c)=-c^2+(a-b+3)c+3b. Ta có:
max f(c)=\dfrac{4.(-1).3b-(a-b+3)^2}{-4}=\dfrac{12b+(a-b+3)^2}{4}
Bây giờ ta cần chỉ ra rằng:
\dfrac{12b+(a-b+3)^2}{4}\le \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}
\Rightarrow 12b+(a-b+3)^2\le 9+6\sqrt{2}
\Leftrightarrow 6(a+b)-2ab+a^2+b^2\le 6\sqrt{2}
\Leftrightarrow 6(a+b)-2ab\le 6\sqrt{2}-1
Chú ý rằng: 2ab=(a+b)^2-a^2-b^2=(a+b)^2-1
Do đó:
6(a+b)-(a+b)^2+2-6\sqrt{2}\le 0
tức là:
a+b\le \sqrt{2} \vee a+b\ge 6-\sqrt{2}
Điều này luôn đúng vì theo Cauchy Schawrz thì a+b\le\sqrt{2(a^2+b^2)}.
Bài toán được chứng minh.
No comments:
Post a Comment