Bài toán : (IMO Shortlist 1996) Cho $x, y, z$  là ba số thực dương có tích bằng $1$. Chứng minh rằng:
                     $\dfrac{xy}{x^5+y^5+xy}+\dfrac{yz}{y^5+z^5+yz}+\dfrac{zx}{z^5+x^5+zx}\le 1$
Lời giải:
 Chú ý rằng: $x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)$.
 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
                                            $x^4+x^2y^2 \ge 2x^3y$
                                            $y^4+x^2y^2 \ge 2xy^3$

 suy ra: $x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\ge 2x^3y-x^3y+2xy^3-xy^3-x^2y^2$
                                                         $=x^3y+xy^3-x^2y^2$

  Do đó, $\dfrac{xy}{x^5+y^5+xy}\le \dfrac{xy}{x^2y^2(x+y)+xy}=\dfrac{1}{xy(x+y)+1}=\dfrac{z}{x+y+z}$
                                                                 
                                                                                   
  Tương tự, ta cũng có:
            $\dfrac{yz}{y^5+z^5+ yz}\le \dfrac{x}{x+y+z} ; \dfrac{zx}{x+y+z}\le \dfrac{y}{x+y+z}$
  Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta thu được đpcm.