Bài toán: C$x,y,z$ là các số nguyên khác $0$ thỏa mãn $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\in Z$. Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{xyz}$ cũng là một số nguyên.

Lời giải:
  Đặt $d=gcd(x, y, z)$, $x=dx_0, y=dy_0, z=dz_0$ với $gcd(x_0, y_0, z_0)=1$
  Rõ ràng, $x_0, y_0, z_0$ cũng là một bộ số thỏa mãn bài toán, tức là:

                                        $\dfrac{x_0}{y_0}+\dfrac{y_0}{z_0}+\dfrac{z_0}{x_0}=k\in Z$
                                  $\Leftrightarrow x_0^2z_0+y_0^2x_0+z_0^2y_0=k. x_0y_0z_0$

  Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $x_0y_0z_0$.
        - Nếu $p$ đồng thời là ước chung của cả ba số $x_0, y_0, z_0$, thì mâu thuẫn với điều kiên $gcd(x_0, y_0, z_0)=1$
        - Nếu $p$ là ước của một trong ba số $x_0, y_0, z_0$ thì dễ thấy ngay $p \not | x_0^2z_0+y_0^2x_0+z_0^2y_0$ (Lại mâu thuẫn).

  Do đó, $p$ là ước chung của hai trong ba số $x_0, y_0, z_0$. Giả sử $p$ là ước chung của $x_0$ và $y_0$  
                 
  Đặt $v_p(x_0)=a, v_p(y_0)=b$

     Trường hợp 1: $a\ge 2b+1$
                     Khi đó, $v_p(x_0)\ge 2b+1$ $\Rightarrow p^{2b+1}|x_0$
                                                                  $\Rightarrow p^{b+1}|y_0^2z_0$
                     Lại do $p^{2b}|y_0^2$  nên  $p|z_0$, mâu thuẫn.
    
     Trường hợp 2: $a=2b$
                     Ta có $v_p(x_0y_0z_0)=a+b=3b$  $\Rightarrow \sqrt[3]{x_0y_0z_0}\in Z$.

     Trường hợp 3: $a=2b-1$
                     Ta có: $v_p(y_0^2)=2b\ge a+1$ $\Rightarrow p^{a+1}|y_0^2$
                                 $v_p(x_0y_0)=a+b\ge a+1$ $\Rightarrow p^{a+1}|z_0^2x_0$

  Từ đó, ta có đpcm.