Bài toán: Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $t$ sao cho $2012t+1$ và $2013t+1$ đều là số chính phương.

Lời giải:
   Đặt $d=gcd(2012t+1, 2013t+1)$. Khi đó, dễ thấy $d=1$. Do đó $2012t+1$ và $2013t+1$ đồng thời là các số chính phương khi và chỉ khi:
                                                 
            $(2012t+1)(2013t+1)=y^2$
              
    $\Leftrightarrow 4.2012^2.2013^2t^2+4.2012.2013.4025t+4.2012.2013=4.2012.2013y^2$

    $\Leftrightarrow (2.2012.2013t+4025)^2-1=4.2012.2013.y^2$

  Đặt $x=2.2012.2013t+4025$,  ta có:

                                             $x^2-4.2012.2013y^2=1$

  Đây là phương trình Pell loại I. Nhận thấy $4.2012.2013$ không là số chính phương nên phương trình này có vô số nghiệm. Ta có công thức nghiệm của phương trình trên là:

                                      

  Bằng qui nạp, ta dễ dàng chứng minh được $x_{2i+1}$ chia $2.2012.2013$ dư $4025$ với mọi $i$ và mỗi giá trị nguyên dương $\dfrac{x_{2i+1}-4025}{2.2012.2013}$ đều cho ta một số $t$ thỏa mãn bài toán. Do đó, tồn tại vô số giá trị nguyên dương $t$ sao cho $2012t+1$ và $2013t+1$ đều là các số chính phương. 
   Bài toán được chứng minh.