Bài toán: Cho $\Delta ABC$, lấy $D,E,F$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $AD,BE,CF$ đồng quy.$M,D,E$ lần lượt thuộc các cạnh $EF,DF,DE$ sao cho $MD,NE,PF$ đồng quy. Chứng minh rằng: $AM,BN,CP$ đồng quy.

Lời giải:

Ta có:

                                    $$\dfrac{S_{AEM}}{S_{AFM}}=\dfrac{AE.sin\angle EAM}{AF.sin\angle FAM }$$

                          $$\Rightarrow \dfrac{sin\angle EAM}{sin\angle FAM}=\dfrac{S_{AEM}.AF}{S_{AMF}.AE}=\dfrac{ME.AF}{MF.AE}$$

Tương tự ta có:

                                          $\dfrac{sin\angle FBN}{sin\angle NBD}=\dfrac{NF.BD}{ND.BF}$, $\dfrac{sin\angle PCD}{sin\angle PCE}=\dfrac{PD.CE}{PE.CE}$

Lại có:

$AD,BE,CF$;$DM,EN,FP$ đồng quy nên theo định lí Ceva,ta có:

                                                  $$\dfrac{AF.BD.CE}{BF.CD.AE}=1$$

                                                  $$\dfrac{ME.FN.DP}{FM.DN.EP}=1$$

Từ đó ta suy ra:

                               $$\dfrac{sin\angle MAE.sin\angle FBN.sin\angle PCD}{sin\angle MAF.sin\angle NBD.sin\angle PCE}=1$$

Theo định lí Ceva-sin thì ta có đpcm.