Bài toán: (Singarpore 2003) Cho $a, b, c$ là các số dương. Chứng minh rằng:
 
                                                           $(a^2+b^2+c^2)^3\le 3(a^3+b^3+c^3)^2$

Lời giải:
     Do BDT đã cho là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa cho $a^2+b^2+c^2=3$

     Khi đó, BDT cần chứng minh trở thành:
                                                            $a^3+b^3+c^3\ge 3$
     Ta cần chọn số $k$ sao cho:
                                                           $a^3\ge 1+k(a^2-1)$

                                                    $\Leftrightarrow (a-1)[a^2+a+1-k(a+1)]\ge 0$

     Cho $a=1$, ta có ngay $k=\dfrac{3}{2}$. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng:
                                                           $a^3\ge 1+\dfrac{3}{2}(a^2-1)$

     Thật vậy, điều này tương đương với: $(a-1)^2(2a+1)\ge 0$, đúng với mọi $a$ dương.

     Tương tự, ta cũng có:  $b^3\ge 1+\dfrac{3}{2}(b^2-1)$

                                        $c^3\ge 1+\dfrac{3}{2}(c^2-1)$

     Như vậy, cộng vế theo vế các BDT trên ta thu được đpcm.