Bài toán: Tìm tất cả các hàm  thỏa mãn:

                                                      

 Lời giải:                                                       Nhận xét 1: 
  Nhận xét 2: 
  Nhận xét 3: .

     Trường hợp 1: . Theo nx 3 ta có  với mọi . Nhưng theo nx 1 ta có  suy ra . Từ đó và theo nx2 ta có  với mọi . kết hợp với nx3 suy ra  với mọi .

    Với  thì biểu thức ban đầu trở thành .
    Cho  bởi  thì ta có 
    Suy ra: . $\Leftrightarrow$  với mọi  suy ra  với mọi .

   Trường hợp 2: . Từ nx2 ta sẽ có  là đơn ánh và  là toàn ánh suy ra tồn tại mà . Ta có  suy ra  
                                                    . 
   Ta có  là đơn ánh, suy ra  cũng là đơn ánh, mà toàn ánh suy ra  là song ánh. Theo nx3 thì . 
    Do  là song ánh nên bắt buộc  là toàn ánh. Mà  là đơn ánh suy ra  cũng là song ánh.

   Vậy cả  và  đều là song ánh. Tồn tại duy nhất  sao cho . Ta có theo nx1 thì  suy ra . Lại có cho y=y_0 vào pt ban đầu ta có  ( do ). Đến đây ta có . Và ta cũng có :

                                         .
   Do đó ta có:

                                                                    . 
   Do g là song ánh suy ra . Hay ta thu được là  và . Nhưng thay vào pt ban đầu thì ta không có hàm nào thỏa mãn ( với đk cả 2 là song ánh).

Kết luận  là nghiệm duy nhất.