bổ đề nâng lũy thừa và định lý về số mũ đúng L.T.E

Bài toán: (Olympic 30.4 năm 2000 ) Tìm số $k$ lớn nhất sao cho $1999^k$ là ước của:

                                               $L=1998^{1999^{2000}}+2000^{1999^{1998}}$

Lời giải:
  Nhận thấy rằng $1999$ là số nguyên tố, nên: $v_{1999}(1999^k)=k$
  Ta có:
               $v_{1999}(1998^{1999^{2000}}+1)=v_{1999}(1998+1)+v_{1999}(1999^{2000})$
                                    
                                                            $=1+2000=2001$

              $v_{1999}(2000^{1999^{1998}}-1)=v_{1999}(2000-1)+v_{1999}(1999^{1998})$

                                                            $=1+1998=1999$
   Suy ra:
               $v_{1999}(L)=v_{1999}(1998^{1999^{2000}}+1+2000^{1999^{1998}}-1)$

                                 $=min\left\{v_{1999}(1998^{1999^{2000}}+1); v_{1999}(2000^{1999^{1998}}-1)\right\}$
   
                                 $=min\left\{2001;1999\right\}=1999$

  Do $1999^k|L$, nên ta phải có $v_{1999}(1999^k)\le v_{1999}(L)$, tức là $k\le 1999$

  Kết luận $max k=1999$