Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f(x)$ liên tục, xác định trên $R$ thỏa man

                                     

Lời giải:
 Do $f(0)=1$ và $f(x)$ liên tục trên $R$, nên  $\exists \omega >0$ sao cho $f(x)>0$, với $x\in (-\omega; \omega)$

  Khi đó, với $n_0 \in N$ đủ lớn thì $f\left (\dfrac{x_0}{2^{n_0}} \right)> 0$. Nhận thấy rằng: $f\left (\dfrac{x_0}{2^{n_0}} \right)<1$, $\forall n\in N$.

 Theo giả thiết, ta có:

                          $f(2x_1)=2[f(x_1)]^2-1=2cos^2\alpha-1=cos2\alpha$
  
  Bằng qui nạp ta dễ dàng chứng minh được:  $f(mx_1)=cos m\alpha$
  
  Mặt khác chú ý tới vai trò của $x. y$ nên ta có:
              
                                                             $f(x-y)=f(y-x)$

    $\Rightarrow$ $f(x)$ là hàm chẵn trên $R$, suy ra: $f(mx_1)=cosn\alpha$, $\forall m\in R$
  
   Cho $x=y=\dfrac{x_1}{2}$,  ta được:
               
                                   $\left [f(\dfrac{x_1}{2}) \right]^2=\dfrac{1+f(x_1)}{2}=\dfrac{1+cos\alpha}{2}=cos^2\dfrac{\alpha}{2}$
                                $\Rightarrow f(\dfrac{x_1}{2})=cos\dfrac{\alpha}{2}$

  Từ đó bằng qui nạp ta dễ dàng chứng minh được:

                               $f(\dfrac{x_1}{2^n})=cos\dfrac{\alpha}{2^n}$,       $\forall n\in N$
  
 suy ra: $f(\dfrac{mx_1}{2^n}=cos\dfrac{m\alpha}{2^n}$,       $\forall n\in N^*, m\in Z$

  Mặt khác. $f(x)$ và $cosx$ đều là các hàm liên tục trên $R$, nên:

                               $f(x_1t)=cos\alpha t$

                          $\Leftrightarrow f(x)=cos\alpha x$,           $( a=\dfrac{\alpha}{x_1}, x\in R)$       
   
                          $\Rightarrow f(x)=cosax$

 Thử lại, ta thấy $f(x)=cosax$ chính là kết quả bài toán.