Bài toán:Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Giả sử \begin{vmatrix} AD-BC \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} AC - BD \end{vmatrix}. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
Lời giải:
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,BD,AC lần lượt là trung điểm của AB,BD,AC.
Áp dụng công thức đường trung tuyến vào các tam giác ABC, ADC, BDP, ta có: AB^2 + BC^2+ CD^2 + DA^2= 2(BP^2 + DP^2)+ AC^2= 4NP^2 + AC^2 + BD^2 (1)
Theo định lý Ptolemy, ta có: AB.CD + AD.BC = AC.BD (2) \to 2AB.CD +2AD.BC = 2AC.BD
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: {\left( {AB - CD} \right)^2} + {\left( {BC - AD} \right)^2} = {\left( {AC - BD} \right)^2} + 4N{P^2}
Kết hợp với giả thiết suy ra: {\left( {AB - CD} \right)^2} = 4N{P^2} \Leftrightarrow NP = \frac{1}{2}|AB - CD| = |MN - MP|
Theo BĐT tam giác suy ra MN=MP \to AD=BC
Vậy ABCD là hình thang cân.
No comments:
Post a Comment