Bài toán: (Chọn đội tuyển ĐH Vinh 2009-2010) Cho $m, n$ là hai số nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{n}{d}$ là số lẻ với $(m,n)=d$. Xác định $(a^m+1; a^n-1)$ với $a$ là số nguyên dương lớn hơn $1$.

Lời giải:  
      Ta có:              
                       $(m, n)=d$ $\Rightarrow \left(\dfrac{m}{d}, \dfrac{n}{d}\right)=1$

      Do $\dfrac{n}{d}$ lẻ nên $\left(\dfrac{2m}{d}, \dfrac{n}{d}\right)=1$
                      $\Rightarrow (2m, n)=d$
  
      Do đó, theo định lý Bezout, tồn tại $x, y$ nguyên sao cho: 

                                                                               $2mx+ny=d$

      Đặt $D=(a^m+1; a^n-1)$. Khi đó:
                                                     $a^m\equiv -1(\mod D)$

                                                $\Rightarrow a^{2m}\equiv 1(\mod D)$
       và:                                         $a^n\equiv 1(\mod D)$

      suy ra:
                                           $a^d=a^{2mx+ny}\equiv 1(\mod D)$

      Chú ý rằng: $m\vdots d$, nên ta có: $a^m\equiv 1(\mod D)$, kết hợp với   $a^m\equiv -1(\mod D)$ nên $D|2$ $\Rightarrow D=1 \vee D=2$

     Dễ thấy ngay, với $D=2$ thì $a$ lẻ và với $D=1$ thì $a$ chẵn

     Đây cũng chính là kết quả bài toán.