Bài toán: (Croatia TST 2011) Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:

                                          
Lời giải:
     Ta có: $x_3=\dfrac{a^2+b^2}{a+b}=a+b-\dfrac{2ab}{a+b}$

     Do  $a\not = b$, nên $\dfrac{2ab}{a+b}\not \in Z$ $\Rightarrow x_3\not\in Z$

     Nhận thấy rằng, $a, b\in Z$ nên $(x_n)$ là số hữu tỉ. Đặt $x_{n-1}=\dfrac{m}{k}$, $x_{n-2}=\dfrac{z}{t}$
   Khi đó:
                                      $x_n=\dfrac{\dfrac{m^2}{k^2}+\dfrac{z^2}{t^2}}{\dfrac{m}{k}+\dfrac{z}{t}}=\dfrac{m^2t^2+k^2z^2}{kt(mt+zk}=mt+kz-\dfrac{2mz}{mt+kz}\not\in Z$
     
    suy ra đpcm.