Bài toán: Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn: 
                                                $$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}\leq \frac{1}{n}$$
      với $\left \{ x \right \}$ là phần lẻ của $x$.

Lời giải:

   Bổ đề : Cho số nguyên dương $n$. Nếu $n+1$ không là lập phương đúng thì $\left \lfloor \sqrt[3]{n+1} \right \rfloor=\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$. 

    Quay lại bài toán 

Xét trường hợp $n+1$ không là lập phương đúng.

Ta thấy $n=1,2$ thỏa mãn. Ta sẽ chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ mà $n\geq 3$ thì :

$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}\geq \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow n\sqrt[3]{n}-n\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq 1\;\;\;\;(*)$$

Với $n=3$ thì dễ thấy $\left \{ \sqrt[3]{3} \right \}.3\geq 1$. Gỉa sử $(*)$ là đúng. Ta sẽ chứng minh :

$$(n+1)\sqrt[3]{n+1}-(n+1)\left \lfloor \sqrt[3]{n+1} \right \rfloor\geq 1$$

Theo bổ đề thì $\left \lfloor \sqrt[3]{n+1} \right \rfloor=\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$, do đó chỉ cần chứng minh :

$$(n+1)\sqrt[3]{n+1}-(n+1)\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq 1\Leftrightarrow \left ( (n+1)\sqrt[3]{n+1}-\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor \right )-n\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq 1$$

Theo giả thiết quy nạp thì :

$$n\sqrt[3]{n}-n\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq 1$$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh :

$$(n+1)\sqrt[3]{n+1}-\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\geq n\sqrt[3]{n}\Leftrightarrow (n+1)\sqrt[3]{n+1}\geq n\sqrt[3]{n}+\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$$

Dễ thấy điều này đúng vì :

$$(n+1)\sqrt[3]{n+1}\geq (n+1)\sqrt[3]{n}\geq n\sqrt[3]{n}+\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$$

Theo nguyên lí quy nạp ta có :

$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}.n\geq 1,\;\forall n\in \mathbb{N},n\geq 3$$

Như vậy trường hợp này chỉ có $n=1,2$ thỏa mãn.

Xét tiếp trường hợp $n+1$ là một lập phương đúng. Đặt $n+1=t^3\;\;(t\in \mathbb{N},t\geq 2)$. Dễ thấy được $\left \lfloor \sqrt[3]{t^3-1} \right \rfloor=t-1$.

Lúc này ta sẽ chứng minh rằng :

$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}=\left \{ \sqrt[3]{t^3-1} \right \}\geq \dfrac{1}{2}$$

Thật vậy, ta có :

$$\sqrt[3]{t^3-1}\geq \left \lfloor \sqrt[3]{t^3-1} \right \rfloor=t-1\geq t-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left \{ \sqrt[3]{t^3-1} \right \}=\sqrt[3]{t^3-1}-(t-1)\geq \dfrac{1}{2}$$

Từ đó có ngay :

$$\left \{ \sqrt[3]{n} \right \}.n\geq \dfrac{n}{2}\geq 1$$

Trường hợp này không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa đề.

Kết luận:

$$n\in \left \{ 1,2 \right \}$$